AMC考点|三角形的“心”

大家知道AMC是美国数学竞赛American Mathematical Competition的简称。1950 年美国数学协会Mathematics Association of America （简称MAA），开始举办美国高中数学考试（AHSME）。在1985年时，MAA又增加了初中数学的考试（AJHSME），2000年以后这些考试统一 被称为 AMC，AMC总部现设在美国加州內布拉斯加大学林肯校区。AMC考试包括AMC8、AMC10、AMC12、AIME、USJMO、USAMO。今天amc数学竞赛网小编就和大家说一说AMC考点——三角形的“心”：

三角形有五心：

重心（Gravity Center）

垂心 （Orthocenter）

内心 （Incenter）

外心 （Circumcenter）

旁心 （Escenter）

本节课暂不介绍旁心，因为它不止一个。

我自己在学习过程中，最先接触到的是重心，因为早在小学低年级，老师就教了我们如何画出一条线段的中点，有一道题让我们把三角形每条边的中点都画出来。我画出来各边中点后，把他们和顶点连起来——即中线（Median）。发现无论这个三角形是怎么样的，三条中线都交于一点。

这个点就叫做重心。

重心有一个很好记的物理性质：假设这个三角形是一块木板，我们要用一根手指把它从下面托住，托在哪里能稳定呢？

答案就是：重心。

因此物理上可以用质点来等效，等效点在重心的位置上。

如果在上面的描述中，做的不是各边的中线，而是各边的垂线（Perpendicular Line），我们会发现，三条垂线依然交于一点。

这个点就叫做垂心。

垂心是垂线的交点，在汉语中都和“垂”有关，非常好记。

四心中，除了重心与垂心，就是内心与外心了。我把这两个放一起讲，是因为它们都和圆有关。

做三角形每个角的角平分线（Angle Bisector），三条角平分线依然会交于一点。我们由角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等得知，角平分线的交点到三条边的距离都相等。于是我们可以以这个点为圆心画圆，和三边都相切。

这个点就是内切圆圆心，简称内心。

三角形里面有一个圆，和它三边都相切，那么三角形外面有没有一个圆，同时经过三个顶点呢？

有的，我们做每条边的垂直平分线（Perpendicular Bisector），不出所料，三条垂直平分线还是交于一点的。由垂直平分线上的点到线段两端距离相等得知，垂直平分线的交点到三角形三个顶点距离都相等。于是我们可以以这个点为圆心画圆，经过三个顶点。

这个点就是外接圆圆心，简称外心。

以上的内容课内也会学到，而在竞赛中，研究四心间的关系更为重要。单独的一个心可能性质有限，但组合起来就变化无穷了，我来说两个常见的：

首先，在一个三角形中画出外心 O、重心 G、垂心 O，发现无论三角形怎么变化，O、G、H 好像总在同一条直线上。并且 G 在中点，O 离 G 近，H 离 G远。

这条线就是著名的欧拉线：三角形的重心在欧拉线上，即三角形的重心、垂心和外心共线，而且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半。

篇幅有限，证明过程就不在这里写了，本文目的是让大家直观的看到这些定理，至于具体的证明过程，很多书上都有，搜索“欧拉线”也可获得。

刚才讲的 O、G、H 的关系没带上内心 I 玩，下面我来讲一个内心 I 和外接圆的关系。

首先做出三角形的内心 I 及外接圆，画出其中一条角平分线（如AI），与外接圆交于 K，则 KB、KI、KC 三条线段等长。

人们发现三条等长的蓝线合起来像一个鸡爪，于是起名为鸡爪定理，其实这个定理和旁心也有关，欲知证明过程可自行搜索。

以上就是小编对AMC数学竞赛需要哪些基础的介绍，希望对你有所帮助，更多学习资料请持续关注AMC数学竞赛网！