AMC竞赛：如何证明任意五角星的内角和都是180°？

大家知道AMC是美国数学竞赛American Mathematical Competition的简称。1950 年美国数学协会Mathematics Association of America （简称MAA），开始举办美国高中数学考试（AHSME）。在1985年时，MAA又增加了初中数学的考试（AJHSME），2000年以后这些考试统一 被称为 AMC，AMC总部现设在美国加州內布拉斯加大学林肯校区。AMC考试包括AMC8、AMC10、AMC12、AIME、USJMO、USAMO。今天amc数学竞赛网小编就和大家说一说如何证明任意五角星的内角和都是180°：

01 /“人伸开双臂的长度基本等于人的身高”，像这样一句话，在数学里就叫做命题（statements）了，有好奇者想检验这句话的真伪，“论证这句话是对的”的过程就叫做命题的证明。在真实的英文数学考题中，会有“Show that ...” “Prove that ...”之类的题目。

数学中的证明基本可以分为两种：

一、基于定理的证明。

这种证明的基本逻辑是用具体案例套“大前提”，“大前提”一般是已知的定理。比如咱们上期讲到的“三角形内角和是 180° ”这个定理，如果在某个题目中，一个复杂的图形中存在三角形 DEF，那么 DEF 就是具体案例，立即能推出 ∠D+∠E+∠F=180°。

二、基于计算的证明。

比如想证明下图中最后一步的结论，∠4=∠1+∠2，可以由三角形内角和是 180° 计算 ∠1+∠2=180°-∠3，由平角性质计算 ∠4=180°-∠3。两个式子算出同样的结果，说明两个式子一样，即 ∠4=∠1+∠2，这就是平面几何中的一个重要性质：三角形一个外角等于不相邻的两个内角和。

02 /在我讲平面几何过程中，听到很多来自学生的疑惑：那些奇奇怪怪的辅助线 （guideline）谁能想到？想不到这条辅助线这题是不是就做不了了？

事实上，不做辅助线也会有其他方法做，只不过做辅助线会大大简化证明过程，所以希望大家在平时学习中，积累一些常见的辅助线的作法，辅助线不是说谁能在考场瞬间想到的，考场的成功都来自于平时的厚积薄发。

比如，已知下面右图中∠1，∠2，∠3各多少度，求∠4的大小。可做一条辅助线，把图形拆分成两个三角形，连用两次上面所说的重要性质“三角形一个外角等于不相邻的两个内角和”。可得出结论：凹四边形凹角等于其余三个角之和。

这就是辅助线的作用：把不熟悉的东西转化成熟悉的。辅助线的本质是连接已知条件，用虚线搭建桥梁。

03 /我记得我小时候，特别羡慕班里会徒手画五角星（pentagram）的人，我学了一下怎么一笔画如下图的五角星，然而画的很歪。后来学了几何知识才知道，无论画的五角星是正的还是歪的，它五个角之和永远都是180°！

想想怎么证明这个有趣的性质吧，可以参考下图。

值得一提的是：我们对于较为复杂的性质的证明，往往不用最基础的结论了（如：三角形一个外角等于不相邻的两个内角和），而用稍微进阶一点的（如：凹四边形凹角等于其余三个角之和），这样就能大跨步的迈向结论了。

04 /从三角形到四边形 （quadrilateral），可以联想四边形就是两个三角形拼合而成，进而想到这条辅助线（所以有时候辅助线并不是件难事），得知凸四边形内角和为360°。

05 /由三角形的内角和，我们证明出了四边形的内角和，能不能再计算证明五边形、六边形、七边形……内角和呢？这在数学里就叫做推广 (generalization)了，把一些具体的问题一般化，证明其在更广阔的领域是对的，这很有用，过程也很难，数学家的精力主要消耗于此。

命题的推广在真正考题中往往作为某道题的最后一问，需要结合前面的具体结论来证明。有些学生觉得很难，其实，这是有套路的，推广的常见思路是看看证明特殊问题用到什么方法，现在还能不能继续用？

比如我们举个简单的例子，证明 n 边形内角和为（n-2）×180°，我们可以把图形拆成（n-2）个小三角形，如下图，即可证得。

每个顶点的外角等于180°减去内角，那么外角和是多少度呢？大家可以自行试试可否算出和证明。

以上就是小编对如何证明任意五角星的内角和都是180°的介绍，希望对你有所帮助，更多学习资料请持续关注AMC数学竞赛网！