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AMC数学竞赛真题2016年10A 1-2

2018-10-22 重点归纳

AMC10数学竞赛是美国高中数学竞赛中的一项，是针对高中一年级及初中三年级学生的数学测试，该竞赛开始于2000年，分A赛和B赛，于每年的2月初和2月中举行，学生可任选参加一项即可。不管是对高校申请还是今后在数学领域的发展都极其有利！那么接下来跟随小编来看一下AMC10数学竞赛真题以及官方解答吧：

Problem 1

What is the value of $\dfrac{11!-10!}{9!}$ ?

$美国数学竞赛AMC$

Solution 1

Factoring out $10!$ from the numerator and cancelling out $9!$ from the numerator and the denominator, we have

$\frac{11!-10!}{9!} = \frac{11 \cdot 10! - 1 \cdot 10!}{9!} = \frac{(10!) \cdot (11 - 1)}{9!} = 10 \cdot 10 =\boxed{\textbf{(B)}\;100}.$

Solution 2

We can use subtraction of fractions to get

Solution 3

Factoring out $9!$ gives $amc数学竞赛$ .

Problem 2

For what value of $x$ does $10^{x}\cdot 100^{2x}=1000^{5}$ ?

$\textbf{(A)}\ 1 \qquad\textbf{(B)}\ 2\qquad\textbf{(C)}\ 3\qquad\textbf{(D)}\ 4\qquad\textbf{(E)}\ 5$

Solution 1

We can rewrite $10^{x}\cdot 100^{2x}=1000^{5}$ as $10^{5x}=10^{15}$ :

$\begin{split} 10^x\cdot100^{2x} & =10^x\cdot(10^2)^{2x} \\ 10^x\cdot10^{4x} & =(10^3)^5 \\ 10^{5x} & =10^{15} \end{split}$

Since the bases are equal, we can set the exponents equal, giving us $5x=15$ . Solving the equation gives us $amc数学竞赛$

Solution 2

We can rewrite this expression as $\log(10^x \cdot 100^{2x})=\log(1000^5)$ , which can be simplified to $\log(10^{x}\cdot10^{4x})=5\log(1000)$ , and that can be further simplified to $\log(10^{5x})=5\log(10^3)$ . This leads to $5x=15$ . Solving this linear equation yields $x = \boxed{\textbf{(C)}\;3}.$